Enunciado
Un cono de altura H cm contiene cierta cantidad de agua.
- Si el cono está apoyado sobre su base, quedan 8 cm libres de agua en la parte superior.
- Si se invierte (apoyándolo sobre el vértice), quedan 2 cm libres en lo alto.
Solución detallada
Caso 1: cono apoyado sobre la base
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Denotemos por
Vtel volumen total del cono y porVael volumen de agua. Cuando el cono está “boca arriba”, el agua forma un cono semejante cuyo vértice está en el vértice del cono mayor y su base está a 8 cm de la cúspide. - Por semejanza de radios y alturas: $$\frac{r_{\text{agua}}}{r_{\text{cono}}} \;=\;\frac{H-8}{H} \quad\Longrightarrow\quad r_{\text{agua}} = r_{\text{cono}}\;\bigl(1 - \tfrac{8}{H}\bigr).$$
- Como el volumen de un cono es proporcional al cubo de la altura, $$V_{\text{agua}} = V_{t}\,\Bigl(\frac{H-8}{H}\Bigr)^3 = V_{t}\,\Bigl(1 - \tfrac{8}{H}\Bigr)^3 = V_{t}\Bigl(1 - \tfrac{512}{H^3}\Bigr).$$
Caso 2: cono apoyado sobre el vértice
- Al invertir el cono, el agua deja libre una “punta” de 2 cm en la parte superior, de modo que el volumen de aire es un cono semejante de altura 2 cm.
- De modo análogo, $$V_{\text{aire}} = V_{t}\,\Bigl(\frac{2}{H}\Bigr)^3 = V_{t}\,\frac{8}{H^3},$$ por lo que el volumen de agua es $$V_{\text{agua}} = V_{t} - V_{\text{aire}} = V_{t}\Bigl(1 - \tfrac{8}{H^3}\Bigr).$$
Igualación y resolución
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Igualamos los dos valores de
Vaobtenidos: $$ V_{t}\Bigl(1 - \tfrac{512}{H^3}\Bigr) = V_{t}\Bigl(1 - \tfrac{8}{H^3}\Bigr). $$ Cancelamos \(V_{t}\) y los unos iniciales: $$ -\frac{512}{H^3} = -\frac{8}{H^3} \quad\Longrightarrow\quad \frac{512}{H^3} = \frac{8}{H^3}. $$ Observa que aquí hemos simplificado el planteamiento inicial de la expansión. - Para obtener la ecuación en \(H\) llevamos todo al mismo lado: $$ \frac{512}{H^3} - \frac{8}{H^3} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{504}{H^3} = 0, $$ pero en realidad en el planteo completo hay que incluir el término lineal y cuadrático que surge al expandir \(\bigl(1 - \tfrac{2}{H}\bigr)^3\). Replanteando de forma equivalente: $$ 1 - \frac{512}{H^3} = 1 - \frac{6}{H} + \frac{12}{H^2} - \frac{8}{H^3}, $$ que simplifica a $$ \frac{504}{H^3} = \frac{6}{H} - \frac{12}{H^2}. $$
- Multiplicamos ambos lados por \(H^3\): $$ 504 = 6H^2 - 12H \quad\Longrightarrow\quad 6H^2 - 12H - 504 = 0 \quad\Longrightarrow\quad H^2 - 2H - 84 = 0. $$
- Aplicamos la fórmula general: $$ H = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 336}}{2} = 1 \pm \sqrt{85}. $$ Descartamos la solución negativa y queda $$ \boxed{H = 1 + \sqrt{85}\approx 10{,}2195\;\text{cm}.} $$
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