Ecuación de Matrices 3x3

Ejercicio: Resolver una Ecuación Matricial 3×3 con Solución Entera

Enunciado del Problema

Sea la ecuación matricial: \[ AX = B, \] donde \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 6 \\ 1 & 0 & 5 \\ 3 & 7 & 8 \end{pmatrix}. \] Resuelve para la matriz incógnita \(X\).

Planteamiento y Resolución

Para resolver la ecuación \(AX = B\) despejamos \(X\): \[ X = A^{-1}B. \] Como \(A\) es triangular superior, su determinante es: \[ \det A = 1\cdot1\cdot1 = 1. \] Debido a que \(\det A = 1\), \(A\) es unimodular y su inversa tendrá entradas enteras.

Paso 1: Calcular la Inversa de \(A\)

La matriz \(A\) es: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \] Dado que \(A\) es triangular superior, su inversa \(A^{-1}\) también es triangular superior y se calcula directamente:

• El elemento \((1,1)\) de \(A^{-1}\) es \(1\) (porque \(1/1 = 1\)).
• El elemento \((1,2)\) se obtiene negando el correspondiente de \(A\): \(-2\).
• Para el elemento \((1,3)\), resolvemos la ecuación: \(x_{13} + 2\,x_{23} = 0\). Más adelante se determina \(x_{23}\).
• En la segunda fila, el elemento \((2,2)\) es \(1\), y para el elemento \((2,3)\) se obtiene directamente: \(x_{23} = -3\) (pues, \(x_{23} + 3\cdot1=0\)).
• Por último, la tercera fila queda igual, con \(x_{33} = 1\).

De la ecuación del primer renglón para la posición \((1,3)\): \[ x_{13} + 2\,x_{23} = 0 \quad \Rightarrow \quad x_{13} + 2(-3) = 0 \quad \Rightarrow \quad x_{13} - 6 = 0, \] de donde: \[ x_{13} = 6. \]

Así, la inversa de \(A\) es: \[ A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 6 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \]

Paso 2: Calcular \(X = A^{-1}B\)

La matriz \(B\) es: \[ B = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 6 \\ 1 & 0 & 5 \\ 3 & 7 & 8 \end{pmatrix}. \] Realizamos el producto: \[ X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 6 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 & 2 & 6 \\ 1 & 0 & 5 \\ 3 & 7 & 8 \end{pmatrix}. \]

Cálculo del Producto Matricial:

• Primera fila:
  • \(x_{11} = 1\cdot4 + (-2)\cdot1 + 6\cdot3 = 4 - 2 + 18 = 20.\)
  • \(x_{12} = 1\cdot2 + (-2)\cdot0 + 6\cdot7 = 2 + 0 + 42 = 44.\)
  • \(x_{13} = 1\cdot6 + (-2)\cdot5 + 6\cdot8 = 6 - 10 + 48 = 44.\)
• Segunda fila:
  • \(x_{21} = 0\cdot4 + 1\cdot1 + (-3)\cdot3 = 1 - 9 = -8.\)
  • \(x_{22} = 0\cdot2 + 1\cdot0 + (-3)\cdot7 = 0 - 21 = -21.\)
  • \(x_{23} = 0\cdot6 + 1\cdot5 + (-3)\cdot8 = 5 - 24 = -19.\)
• Tercera fila:
  • \(x_{31} = 0\cdot4 + 0\cdot1 + 1\cdot3 = 3.\)
  • \(x_{32} = 0\cdot2 + 0\cdot0 + 1\cdot7 = 7.\)
  • \(x_{33} = 0\cdot6 + 0\cdot5 + 1\cdot8 = 8.\)

Por lo tanto, la matriz \(X\) es: \[ X = \begin{pmatrix} 20 & 44 & 44 \\ -8 & -21 & -19 \\ 3 & 7 & 8 \end{pmatrix}. \] Todas las entradas resultan ser números enteros, lo cual es posible gracias a que \(A\) es unimodular (su determinante es 1).

Tabla Resumen de Pasos

Resolución de \(AX = B\) con Solución Entera

Paso	Operación	Resultado
1	Identificar \(A\) y \(B\) \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \), \( B = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 6 \\ 1 & 0 & 5 \\ 3 & 7 & 8 \end{pmatrix} \)
2	Calcular \(\det A\): \( \det A = 1\)	\(1\)
3	Calcular \( A^{-1} \) (por ser triangular superior): \( A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 6 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)
4	Calcular \( X = A^{-1}B \)	\( X = \begin{pmatrix} 20 & 44 & 44 \\ -8 & -21 & -19 \\ 3 & 7 & 8 \end{pmatrix} \)

Respuesta Final

La solución de la ecuación matricial \(AX = B\) es: \[ \boxed{X = \begin{pmatrix} 20 & 44 & 44 \\ -8 & -21 & -19 \\ 3 & 7 & 8 \end{pmatrix}}. \]