Resolver una Ecuación de Matrices 2x2

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Ejercicio: Resolver una Ecuación de Matrices 2×2

Ejercicio: Resolver una Ecuación de Matrices 2×2

Enunciado del Problema

Dada la ecuación matricial: \[ AX = B, \] donde \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}, \] resuelve para la matriz incógnita \(X\).

Planteamiento y Resolución

Para resolver la ecuación \(AX = B\), debemos despejar \(X\). Si la matriz \(A\) es invertible, se cumple: \[ X = A^{-1}B. \]

Paso 1: Calcular la Inversa de \(A\)

Recordamos que para una matriz \(2 \times 2\): \[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \] la inversa está dada por: \[ A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}, \] siempre y cuando \(ad - bc \neq 0\).

Para \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \), identificamos:
\(a = 1\), \(b = 2\), \(c = 3\) y \(d = 4\).
Calculamos el determinante: \[ \det A = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2. \]
Así, la inversa es: \[ A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}. \] Para mayor claridad, podemos escribir: \[ A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}. \]

Paso 2: Calcular \(X = A^{-1}B\)

Multiplicamos \(A^{-1}\) y \(B\): \[ X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}. \] Realizamos la multiplicación elemento a elemento:

  • \(x_{11} = (-2)(5) + (1)(7) = -10 + 7 = -3\).
  • \(x_{12} = (-2)(6) + (1)(8) = -12 + 8 = -4\).
  • \(x_{21} = (1.5)(5) + (-0.5)(7) = 7.5 - 3.5 = 4\).
  • \(x_{22} = (1.5)(6) + (-0.5)(8) = 9 - 4 = 5\).

Por lo tanto, la solución para \(X\) es: \[ X = \begin{pmatrix} -3 & -4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}. \]

Tabla Resumen de Pasos

Resolución de \(AX = B\)
Paso Operación Resultado
1 Calcular \(\det A = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3\) \(\det A = -2\)
2 Obtener \(A^{-1} = \frac{1}{-2}\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}\) \(A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}\)
3 Multiplicar \(X = A^{-1}B\) \(X = \begin{pmatrix} -3 & -4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}\)

Respuesta Final

La solución de la ecuación matricial \(AX = B\) es: \[ \boxed{X = \begin{pmatrix} -3 & -4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}}. \]

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