Distancia a una parábola

Optimizando la Distancia a una Parábola. Cálculo Diferencial

1. Planteamiento del Problema

Dada la parábola \( y = x^2 \) y el punto \( P(0,3) \), ¿cuáles son los puntos en la parábola que minimizan la distancia a \( P \)?

2. Modelado Matemático

Sea \( Q(x, x^2) \) un punto arbitrario de la parábola. La distancia entre \( P(0,3) \) y \( Q(x, x^2) \) es: \[ d = \sqrt{(x - 0)^2 + (x^2 - 3)^2} = \sqrt{x^2 + (x^2-3)^2}. \] Para simplificar, trabajamos con el cuadrado de la distancia: \[ d^2 = x^2 + (x^2-3)^2. \] Expandiendo: \[ d^2 = x^2 + x^4 - 6x^2 + 9 = x^4 - 5x^2 + 9. \]

3. Aplicación del Cálculo Diferencial

Paso 1: Derivar \( d^2 \) respecto a \( x \): \[ \frac{d}{dx}\left(x^4 - 5x^2 + 9\right) = 4x^3 - 10x. \] Paso 2: Igualar la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: \[ 4x^3 - 10x = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x(2x^2 - 5) = 0. \] Esto da las soluciones: \[ x = 0 \quad \text{ó} \quad 2x^2 - 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = \frac{5}{2} \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{\frac{5}{2}}. \] Paso 3: Evaluar \( d^2 \) en los puntos críticos: - Para \( x = 0 \): \[ d^2(0) = 0^4 - 5(0)^2 + 9 = 9. \] - Para \( x = \pm \sqrt{\frac{5}{2}} \), notamos que \( x^2 = \frac{5}{2} \): \[ d^2\left(\sqrt{\frac{5}{2}}\right) = \left(\frac{5}{2}\right)^2 - 5\left(\frac{5}{2}\right) + 9 = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 9 = \frac{25 - 50 + 36}{4} = \frac{11}{4}. \]

4. Verificación del Mínimo

Al comparar: \[ d^2(0) = 9 \quad \text{y} \quad d^2\left(\sqrt{\frac{5}{2}}\right) = \frac{11}{4} \approx 2.75, \] se concluye que la distancia mínima se alcanza para \( x = \pm \sqrt{\frac{5}{2}} \).

5. Resultado Final

\[ \boxed{Q\left(\sqrt{\frac{5}{2}}, \frac{5}{2}\right) \quad \text{y} \quad Q\left(-\sqrt{\frac{5}{2}}, \frac{5}{2}\right)} \]

Conclusión: Los puntos en la parábola \( y = x^2 \) que se encuentran a la distancia mínima del punto \( P(0,3) \) son \( \left(\sqrt{\frac{5}{2}}, \frac{5}{2}\right) \) y \( \left(-\sqrt{\frac{5}{2}}, \frac{5}{2}\right) \), con una distancia mínima de \( d = \sqrt{\frac{11}{4}} = \frac{\sqrt{11}}{2} \).