Ecuación de una Circunferencia en Forma Polar
Enunciado del Problema
Convierte la siguiente ecuación de una circunferencia en su forma polar:
- \( (x - 2)^2 + y^2 = 16 \)
Utiliza las relaciones:
- \( x = r\cos\theta \)
- \( y = r\sin\theta \)
Planteamiento y Resolución
Paso 1: Sustitución de Coordenadas
Reemplazamos \( x \) y \( y \) en la ecuación: \[ (r\cos\theta - 2)^2 + (r\sin\theta)^2 = 16 \]
Paso 2: Expandir la Ecuación
Expandimos el primer término: \[ (r\cos\theta - 2)^2 = r^2\cos^2\theta - 4r\cos\theta + 4 \] Y el segundo término es: \[ (r\sin\theta)^2 = r^2\sin^2\theta \] Por lo que la ecuación se transforma en: \[ r^2\cos^2\theta - 4r\cos\theta + 4 + r^2\sin^2\theta = 16 \]
Paso 3: Utilizar la Identidad Trigonométrica
Recordando que \( \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 \), tenemos: \[ r^2 - 4r\cos\theta + 4 = 16 \]
Paso 4: Simplificar la Ecuación
Restamos 16 a ambos lados: \[ r^2 - 4r\cos\theta + 4 - 16 = 0 \quad \Longrightarrow \quad r^2 - 4r\cos\theta - 12 = 0 \]
Paso 5: Despejar \(r\)
Utilizando la fórmula cuadrática \( r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) donde \( a = 1 \), \( b = -4\cos\theta \) y \( c = -12 \): \[ r = \frac{4\cos\theta \pm \sqrt{(4\cos\theta)^2 - 4\cdot1\cdot(-12)}}{2} \] Calculamos el discriminante: \[ (4\cos\theta)^2 + 48 = 16\cos^2\theta + 48 = 16(\cos^2\theta+3) \] Por lo tanto: \[ r = \frac{4\cos\theta \pm 4\sqrt{\cos^2\theta+3}}{2} = 2\cos\theta \pm 2\sqrt{\cos^2\theta+3} \] Como \( r \) debe ser no negativo, elegimos la solución positiva: \[ \boxed{r = 2\cos\theta + 2\sqrt{\cos^2\theta+3}} \]
Tabla de Razonamiento:
| Paso | Ecuación o Razonamiento | Resultado |
|---|---|---|
| 1. Sustitución |
\( x = r\cos\theta \), \( y = r\sin\theta \) \((r\cos\theta - 2)^2 + (r\sin\theta)^2 = 16\) |
Ecuación inicial en forma polar |
| 2. Expansión | \( r^2\cos^2\theta - 4r\cos\theta + 4 + r^2\sin^2\theta \) | \( r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta = r^2 \) |
| 3. Identidad Trigonométrica | \( r^2 - 4r\cos\theta + 4 = 16 \) | Uso de \( \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 \) |
| 4. Simplificar | \( r^2 - 4r\cos\theta + 4 - 16 = 0 \) | \( r^2 - 4r\cos\theta - 12 = 0 \) |
| 5. Despejar \(r\) | \( r = \frac{4\cos\theta \pm 4\sqrt{\cos^2\theta+3}}{2} \) | \( r = 2\cos\theta + 2\sqrt{\cos^2\theta+3} \) |
Respuesta Final:
-
La ecuación de la circunferencia en forma polar con \( r \) despejada es:
\( r = 2\cos\theta + 2\sqrt{\cos^2\theta+3} \)
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