Cálculo del Primer Término de Sucesión Aritmética

Sucesión Aritmética: Calcular el Primer Término

Enunciado: Obtener el primer término de una sucesión aritmética cuyos términos cuarto y quinto son, respectivamente, 5 y -3.

1. Definiciones y Planteamiento

En una sucesión aritmética, cada término se obtiene sumando una diferencia común \( d \) al término anterior. Si denotamos \( a_1 \) como el primer término, el \( n \)-ésimo término se expresa como:

$$ a_n = a_1 + (n - 1)\,d. $$

El problema nos da:

• El cuarto término \( a_4 = 5. \)
• El quinto término \( a_5 = -3. \)

2. Hallar la Diferencia Común \(d\)

Por la fórmula general, se tiene:

• \( a_4 = a_1 + 3\,d = 5, \)
• \( a_5 = a_1 + 4\,d = -3. \)

Para encontrar \( d \), observamos que en una sucesión aritmética, la diferencia entre términos consecutivos es siempre \( d \). Así:

$$ d = a_5 - a_4 = -3 - 5 = -8. $$

Por consiguiente, la diferencia común es \( d = -8 \).

3. Determinar el Primer Término \( a_1 \)

Con \( a_4 = 5 \) y la fórmula \( a_4 = a_1 + 3\,d \), sustituimos \( d = -8 \):

$$ a_1 + 3(-8) = 5 \quad \Longrightarrow \quad a_1 - 24 = 5 \quad \Longrightarrow \quad a_1 = 29. $$

Por lo tanto, el primer término de la sucesión es \( a_1 = 29 \).

4. Fórmula General de la Sucesión

Se concluye que \( a_1 = 29 \) y \( d = -8 \). Por ende, cada término \( a_n \) se calcula como:

$$ a_n = 29 + (n - 1)\,(-8) = 29 - 8(n-1). $$

Verifiquemos para \( n=4 \) y \( n=5 \):

• Cuarto término \((n=4)\):
  \( a_4 = 29 - 8(4 - 1) = 29 - 8 \times 3 = 29 - 24 = 5. \checkmark\)
• Quinto término \((n=5)\):
  \( a_5 = 29 - 8(5 - 1) = 29 - 8 \times 4 = 29 - 32 = -3. \checkmark\)

5. Conclusión

El primer término de la sucesión aritmética solicitada es $$ a_1 = 29, $$ y la diferencia común $$ d = -8. $$ En consecuencia, la sucesión queda determinada por $$ a_n = 29 - 8\,(n-1). $$