Cálculo de la Matriz Adjunta

Ejercicios: Cálculo de la Matriz Adjunta

Ejercicio 1: Adjunta de una Matriz 2×2

Enunciado del Problema

Calcular la matriz adjunta (adjugada) de la siguiente matriz \(A\):

\( A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 7 \end{pmatrix} \)

Concepto de Matriz Adjunta

Para una matriz \(2\times2\): \[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \] la matriz de cofactores es: \[ C = \begin{pmatrix} d & -c \\ -b & a \end{pmatrix}, \] y la adjunta de \(A\) es la traspuesta de \(C\): \[ \mathrm{adj}(A) = C^\mathsf{T} = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}. \]

Paso 1: Identificar los Elementos

Para \( A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 7 \end{pmatrix} \), tenemos: \(a=2\), \(b=3\), \(c=4\), \(d=7\).

Paso 2: Construir la Matriz de Cofactores

\[ C = \begin{pmatrix} d & -c \\ -b & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & -4 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}. \]

Paso 3: Trasponer para Obtener la Adjunta

\[ \mathrm{adj}(A) = C^\mathsf{T} = \begin{pmatrix} 7 & -3 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}. \]

Tabla Resumen de Pasos

Resumen: cálculo de \(\mathrm{adj}(A)\)

Paso	Operación	Resultado
1	Identificar \(a,b,c,d\)	2, 3, 4, 7
2	Formar matriz de cofactores \(C\)	\(\begin{pmatrix}7 & -4\\-3 & 2\end{pmatrix}\)
3	Trasponer \(C\)	\(\begin{pmatrix}7 & -3\\-4 & 2\end{pmatrix}\)

Respuesta Final

\[\boxed{\mathrm{adj}(A) = \begin{pmatrix}7 & -3\\-4 & 2\end{pmatrix}}\]

Ejercicio 2: Adjunta de una Matriz 3×3

Enunciado del Problema

Calcular la matriz adjunta (adjugada) de la siguiente matriz \(B\):

\( B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 4 & 5\\ 1 & 0 & 6 \end{pmatrix} \)

Concepto y Proceso para 3×3

Para una matriz \(3\times3\) \(B=[b_{ij}]\), la matriz de cofactores \([C_{ij}]\) se define como: \[ C_{ij} = (-1)^{i+j} \det(M_{ij}), \] donde \(M_{ij}\) es la submatriz que resulta de eliminar la fila \(i\) y la columna \(j\) de \(B\).
La adjunta es la traspuesta de la matriz de cofactores: \[ \mathrm{adj}(B) = C^\mathsf{T}. \]

Paso 1: Calcular ejemplos de Cofactores

Ejemplos:
\(M_{11}=\det\begin{pmatrix}4&5\\0&6\end{pmatrix}=24,\;C_{11}=(-1)^{1+1}\cdot24=+24;\)
\(M_{12}=\det\begin{pmatrix}0&5\\1&6\end{pmatrix}=-5,\;C_{12}=(-1)^{1+2}\cdot(-5)=+5;\)
\(M_{13}=\det\begin{pmatrix}0&4\\1&0\end{pmatrix}=-4,\;C_{13}=(-1)^{1+3}\cdot(-4)=-4;\)
\(M_{21}=\det\begin{pmatrix}2&3\\0&6\end{pmatrix}=12,\;C_{21}=(-1)^{2+1}\cdot12=-12;\)
\(M_{22}=\det\begin{pmatrix}1&3\\1&6\end{pmatrix}=3,\;C_{22}=(-1)^{2+2}\cdot3=+3;\)
\(M_{23}=\det\begin{pmatrix}1&2\\1&0\end{pmatrix}=-2,\;C_{23}=(-1)^{2+3}\cdot(-2)=+2.\)

Paso 2: Matriz de Cofactores Completa

\[ C = \begin{pmatrix} 24 & 5 & -4 \\ -12 & 3 & 2 \\ -2 & -5 & 4 \end{pmatrix} \]

Paso 3: Trasponer para Obtener la Adjunta

\[ \mathrm{adj}(B) = C^\mathsf{T} = \begin{pmatrix} 24 & -12 & -2 \\ 5 & 3 & -5 \\ -4 & 2 & 4 \end{pmatrix} \]

Tabla Resumen de Pasos

Resumen: cálculo de \(\mathrm{adj}(B)\)

Paso	Operación	Resultado
1	Calcular menores y cofactores	\(\begin{pmatrix}24&5&-4\\-12&3&2\\-2&-5&4\end{pmatrix}\)
2	Trasponer	\(\begin{pmatrix}24&-12&-2\\5&3&-5\\-4&2&4\end{pmatrix}\)

Respuesta Final

\[\boxed{\mathrm{adj}(B) = \begin{pmatrix}24&-12&-2\\5&3&-5\\-4&2&4\end{pmatrix}}\]