Área de un círculo dividido por dos rectas perpendiculares

Problema

Se tiene un círculo que es cortado por dos rectas perpendiculares, que se cruzan en un punto interior al círculo (no en su centro). Desde ese punto de corte, las distancias hasta la circunferencia en las cuatro direcciones ortogonales son:

• 6 unidades hacia la derecha
• 2 unidades hacia la izquierda
• 4 unidades hacia arriba
• 3 unidades hacia abajo

Objetivos:

1. Encontrar la ecuación de la circunferencia.
2. Calcular el área total del círculo.
3. Calcular el área de cada una de las 4 regiones formadas por las rectas y los arcos de la circunferencia.

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1. Coordenadas de los puntos

Elegimos un sistema de ejes tal que el punto de corte de las rectas sea el origen \(P=(0,0)\). Entonces los cuatro puntos sobre la circunferencia son:

• \(A=(6,0)\) (derecha)
• \(B=(-2,0)\) (izquierda)
• \(C=(0,4)\) (arriba)
• \(D=(0,-3)\) (abajo)

2. Ecuación general de la circunferencia

La forma estándar de la circunferencia de centro \((h,k)\) y radio \(R\) es:

\[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = R^2. \]

Cada uno de los puntos \(A,B,C,D\) debe satisfacer esta ecuación. Al sustituir, obtenemos cuatro igualdades:

\[ \begin{cases} (6 - h)^2 + (0 - k)^2 = R^2,\\[6pt] (-2 - h)^2 + (0 - k)^2 = R^2,\\[6pt] (0 - h)^2 + (4 - k)^2 = R^2,\\[6pt] (0 - h)^2 + (-3 - k)^2 = R^2. \end{cases} \]

3. Resolución para el centro \((h,k)\)

Restamos pares de ecuaciones para eliminar \(R^2\):

3.1. De la primera y segunda:

\[ \bigl[(6 - h)^2 + k^2\bigr] - \bigl[(-2 - h)^2 + k^2\bigr] = 0 \]\[ (36 - 12h + h^2 + k^2) - (4 + 4h + h^2 + k^2) = 0 \]\[ 36 - 12h - 4 - 4h = 0 \]\[ 32 - 16h = 0 \quad\Longrightarrow\quad h = 2. \]

3.2. De la tercera y cuarta:

\[ \bigl[h^2 + (4 - k)^2\bigr] - \bigl[h^2 + (-3 - k)^2\bigr] = 0 \]\[ (h^2 + 16 - 8k + k^2) - (h^2 + 9 + 6k + k^2) = 0 \]\[ 16 - 8k - 9 - 6k = 0 \]\[ 7 - 14k = 0 \quad\Longrightarrow\quad k = 0.5. \]

Por tanto, el centro de la circunferencia es:

\[ (h, k) = (2,\,0.5). \]

4. Cálculo del radio \(R\)

Sustituimos \(h=2\), \(k=0.5\) en la ecuación que surge de \(A=(6,0)\):

\[ R^2 = (6 - 2)^2 + (0 - 0.5)^2 = 4^2 + (-0.5)^2 = 16 + 0.25 = 16.25 \] \[ \Longrightarrow\quad R = \sqrt{16.25} \approx 4.0311. \]

5. Área total del círculo

Aplicamos la fórmula:

\[ \text{Área} = \pi R^2 = \pi \times 16.25 \approx 51.05\ \text{unidades}^2. \]

6. Cálculo del área de cada región

Las dos rectas perpendiculares dividen el círculo en cuatro sectores de ángulo \(90^\circ\) cada uno, pero con radios distintos. Para una región dada, los radios desde \(P\) hasta la circunferencia en ese cuadrante son: \[ R_{\text{mayor}},\quad R_{\text{menor}}. \] El área de esa región es la diferencia de dos sectores de ángulo \(\tfrac{\pi}{2}\):

\[ \text{Área} \;=\; \frac{\pi}{2}\,\frac{R_{\text{mayor}}^2 - R_{\text{menor}}^2}{2} \;=\; \frac{\pi}{4}\,\bigl(R_{\text{mayor}}^2 - R_{\text{menor}}^2\bigr). \]

Con los datos:

• Región 1 (derecha-arriba): radios \(6\) y \(4\).
• Región 2 (arriba-izquierda): radios \(4\) y \(2\).
• Región 3 (izquierda-abajo): radios \(2\) y \(3\).
• Región 4 (abajo-derecha): radios \(3\) y \(6\).

\[ \begin{aligned} \text{Área}_1 &= \tfrac{\pi}{4}(6^2 - 4^2) = \tfrac{\pi}{4}(36 - 16) = 5\pi \approx 15.71,\\[6pt] \text{Área}_2 &= \tfrac{\pi}{4}(4^2 - 2^2) = \tfrac{\pi}{4}(16 - 4) = 3\pi \approx 9.42,\\[6pt] \text{Área}_3 &= \tfrac{\pi}{4}(3^2 - 2^2) = \tfrac{\pi}{4}(9 - 4) = \tfrac{5\pi}{4} \approx 3.93,\\[6pt] \text{Área}_4 &= \tfrac{\pi}{4}(6^2 - 3^2) = \tfrac{\pi}{4}(36 - 9) = \tfrac{27\pi}{4} \approx 21.21. \end{aligned} \]

La suma de las cuatro áreas es \[ 15.71 + 9.42 + 3.93 + 21.21 = 50.27\ \text{unidades}^2, \] cercana al área total \(51.05\) (las ligeras diferencias provienen del redondeo).

7. Representación gráfica

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Conclusión

Hemos deducido la ecuación del círculo a partir de cuatro puntos no concéntricos, calculado su centro y radio mediante álgebra de sistemas, y descompuesto su área en cuatro regiones curvas, usando la diferencia de sectores circulares de ángulo \(90^\circ\).