Optimización de una caja. Ejercicio aplicación al cálculo diferencial

Belleza del Cálculo Diferencial: Optimización de una Caja

1. Planteamiento del Problema

Se desea construir una caja sin tapa a partir de una hoja de cartón de \( 20 \, \text{cm} \times 30 \, \text{cm} \). Para ello, se recortan cuadrados de lado \( x \) en cada esquina y se doblan los bordes. ¿Qué valor de \( x \) maximiza el volumen de la caja?

2. Modelado Matemático

- Altura de la caja: \( x \).
- Base de la caja: Longitud = \( 30 - 2x \), Ancho = \( 20 - 2x \).
- Volumen: \[ V(x) = x(30 - 2x)(20 - 2x). \]

3. Aplicación del Cálculo Diferencial

Paso 1: Expandir la función de volumen: \[ V(x) = 4x^3 - 100x^2 + 600x. \] Paso 2: Calcular la primera derivada: \[ V'(x) = 12x^2 - 200x + 600. \] Paso 3: Encontrar puntos críticos (\( V'(x) = 0 \)): \[ 12x^2 - 200x + 600 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{25 \pm 5\sqrt{7}}{3}. \] Nota: Solo \( x = \frac{25 - 5\sqrt{7}}{3} \approx 3.92 \, \text{cm} \) es viable (el otro valor excede las dimensiones del cartón).

4. Verificación del Máximo

Segunda derivada: \[ V''(x) = 24x - 200. \] Evaluando en \( x \approx 3.92 \): \[ V''(3.92) = 24(3.92) - 200 \approx -94.72 < 0 \quad \Rightarrow \quad \text{Máximo}. \]

5. Resultado Final

\[ \boxed{x \approx 3.92 \, \text{cm}} \]

Interpretación: Al recortar cuadrados de ≈ 3.92 cm, se obtiene la caja con volumen máximo (\( V \approx 1056 \, \text{cm}^3 \)). Este ejercicio muestra cómo el cálculo diferencial transforma un problema físico en una solución precisa y elegante.