¿De dónde sale la identidad \( e^{ix} + e^{-ix} = 2 \cos(x) \)?
1. Partir de la Fórmula de Euler
Recordemos la fórmula de Euler: \[ e^{ix} = \cos(x) + i\,\sin(x). \] Si cambiamos \(x\) por \(-x\), obtenemos: \[ e^{-ix} = \cos(-x) + i\,\sin(-x). \] Como \(\cos(-x) = \cos(x)\) y \(\sin(-x) = -\sin(x)\), se tiene: \[ e^{-ix} = \cos(x) - i\,\sin(x). \]
2. Sumar las dos expresiones
Sumando \( e^{ix} \) y \( e^{-ix} \): \[ e^{ix} + e^{-ix} = \bigl[\cos(x) + i\sin(x)\bigr] + \bigl[\cos(x) - i\sin(x)\bigr]. \] Al agrupar términos: \[ = \cos(x) + \cos(x) + i\sin(x) - i\sin(x). \] Observamos que \( i\sin(x) \) y \( -i\sin(x) \) se anulan mutuamente, quedando: \[ = 2\,\cos(x). \]
3. Resultado Final
\(\boxed{e^{ix} + e^{-ix} = 2\,\cos(x)}\)
Así, la identidad se deduce directamente de la fórmula de Euler, separando la parte real y notando la cancelación de las partes imaginarias.
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