Cálculo de raíz cuadrada de i

Resolución de \( \sqrt{i} + \sqrt{-i} \)

1. Expresar \( i \) y \( -i \) en forma polar

En el plano complejo: \[ i = e^{i\frac{\pi}{2}} \quad \text{y} \quad -i = e^{-i\frac{\pi}{2}}. \]

2. Calcular las raíces cuadradas

Usando \( \sqrt{z} = \sqrt{r} \cdot e^{i\frac{\theta}{2}} \):

• Raíz de \( i \): \[ \sqrt{i} = e^{i\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}. \]
• Raíz de \( -i \): \[ \sqrt{-i} = e^{-i\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}. \]

3. Sumar las raíces

\[ \sqrt{i} + \sqrt{-i} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}\right). \] Simplificando: \[ = \sqrt{2} + 0i = \sqrt{2}. \]

4. Resultado Final

\[ \boxed{\sqrt{i} + \sqrt{-i} = \sqrt{2}} \]

Las partes imaginarias se cancelan y las reales se suman.