Ejercicio: Usando la Fórmula de Euler, demuestre detalladamente la superposición de dos ondas electromagnéticas con la misma amplitud \(E_0\) y frecuencia \(\omega\), que viajan en la misma dirección pero tienen una diferencia de fase \(\phi\).
Recordemos que la Fórmula de Euler es: \[ e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta), \] lo que nos permite expresar funciones trigonométricas en forma exponencial.
Interferencia de Ondas con Euler
Paso 1: Representar cada onda usando Euler
Sea la primera onda: \[ E_1(\mathbf{r},t) = E_0\, e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)}. \] Y la segunda onda, que difiere en fase por \(\phi\): \[ E_2(\mathbf{r},t) = E_0\, e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t + \phi)}. \] Aquí, \(E_0\) es la amplitud, \(\mathbf{k}\) es el vector de onda y \(\omega\) la frecuencia angular.
Paso 2: Sumar las ondas
Por el principio de superposición, el campo eléctrico total es: \[ E_{\text{total}}(\mathbf{r},t) = E_1(\mathbf{r},t) + E_2(\mathbf{r},t). \] Sustituyendo: \[ E_{\text{total}}(\mathbf{r},t) = E_0\, e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)} + E_0\, e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t + \phi)}. \] Se factoriza \(E_0\, e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)}\): \[ E_{\text{total}}(\mathbf{r},t) = E_0\, e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)} \left[1 + e^{i\phi}\right]. \]
Paso 3: Aplicar la Fórmula de Euler para simplificar \(1+e^{i\phi}\)
Usamos la fórmula de Euler para escribir \(e^{i\phi}\):
\[
e^{i\phi} = \cos(\phi) + i\sin(\phi).
\]
Sin embargo, para simplificar la suma, factoricemos de manera conveniente:
Observamos que:
\[
1 + e^{i\phi} = e^{i\phi/2}\left(e^{-i\phi/2} + e^{i\phi/2}\right).
\]
Aplicando nuevamente la Fórmula de Euler,
\[
e^{-i\phi/2} + e^{i\phi/2} = 2\,\cos\!\left(\frac{\phi}{2}\right).
\]
Por lo tanto:
\[
1 + e^{i\phi} = 2\,e^{i\phi/2}\cos\!\left(\frac{\phi}{2}\right).
\]
Paso 4: Escribir el campo total en forma final
Sustituyendo la expresión obtenida en el campo total: \[ E_{\text{total}}(\mathbf{r},t) = E_0\, e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)} \cdot \left[2\,e^{i\phi/2}\cos\!\left(\frac{\phi}{2}\right)\right]. \] Reagrupando los términos exponenciales: \[ E_{\text{total}}(\mathbf{r},t) = 2\,E_0\, e^{i\left(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t + \frac{\phi}{2}\right)}\cos\!\left(\frac{\phi}{2}\right). \]
Paso 5: Interpretación
La expresión obtenida se compone de:
- \(e^{i\left(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t + \frac{\phi}{2}\right)}\): la fase de la onda resultante.
- \(2\,E_0\,\cos\!\left(\frac{\phi}{2}\right)\): la amplitud modificada por la diferencia de fase.
Cuando \(\phi = 0\), \(\cos\left(\frac{\phi}{2}\right) = 1\) y la amplitud es máxima (\(2E_0\)). Cuando \(\phi = \pi\), \(\cos\left(\frac{\phi}{2}\right) = 0\) y ocurre interferencia destructiva.
Resultado Final
\(\boxed{E_{\text{total}}(\mathbf{r},t) = 2\,E_0\, e^{i\left(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t + \frac{\phi}{2}\right)}\cos\!\left(\frac{\phi}{2}\right)}\)
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